Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值；

（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出切線方程，與對比系數(shù)即可；

（2），令，通過討論知，且，從而，再由確定出的范圍即可獲證.

解：（1）由題意知，的定義域?yàn)?/span>，，

則，

又，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即，

所以，解得.

（2）由（1）得，，顯然.

令，，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增

取b滿足，則，，

所以.

又，所以存在，使得，此時.

又當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，

所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且.

令，則，所以在上單調(diào)遞減，

又，，所以，∴ ；

令，則.

所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以，

所以.