Question

16．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$．求a+2c的范圍．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理可得2c+a=4sinC+2sinA=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），（θ為銳角，且tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$），結合θ＜A+θ＜$\frac{2π}{3}$+θ，以及正弦函數(shù)的值域，求得a+2c的取值范圍．

解答 解：△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
設三角形外接圓的直徑為2r，
則由正弦定理可得2r=$\frac{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
a+2c=4sinC+2sinA=2[2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+sinA]
=2（$\sqrt{3}$cosA+2sinA）=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），（θ為銳角，且tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，θ＜A+θ＜$\frac{2π}{3}$+θ，當A+θ=$\frac{π}{2}$時，sin（A+θ）=1，
sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，sin（$\frac{2π}{3}$+θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{7}}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
即有2$\sqrt{7}$sin（A+θ）∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．
則a+2c的范圍是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

點評 本題主要考查正弦定理的應用以及輔助角公式的應用．解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用，屬于中檔題．