Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{4}$，a₂=$\frac{3}{4}$，2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）可以先根據(jù)數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式求的數(shù)列的通項，再有數(shù)列{b_n}滿足的關(guān)系，將a_n 與b_n作差化簡即可獲得解答；
（2）由{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式進行求解即可．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
∵{a_n}為等差數(shù)列，
∴公差$d={a}_{2}-{a}_{1}=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}+（n-1）×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}$．
∵3b_n-b_n-1=n（n≥2）
∴$_{n}=\frac{1}{3}_{n-1}+\frac{1}{3}（n≥2）$，
$_{n}-{a}_{n}=\frac{1}{3}_{n-1}+\frac{1}{3}n-\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{3}（_{n-1}-\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}）=\frac{1}{3}[_{n-1}-\frac{1}{2}（n-1）+\frac{1}{4}]$
=$\frac{1}{3}（_{n-1}-{a}_{n-1}）$
∴$\frac{1}{3}[_{n-1}-\frac{1}{2}（n-1）+\frac{1}{4}]=\frac{1}{3}（_{n-1}-{a}_{n-1}）$
又b₁-a₁≠0，
∴對n∈N*，$_{n}-{a}_{n}≠0，得\frac{bn-an}{_{n-1}-{a}_{n-1}}=\frac{1}{3}\\;\\;（n≥2）$．．
數(shù)列{b_n-a_n}是公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，數(shù)列{b_n-a_n}是首項為$\frac{3}{4}$公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．
∴$_{n}-{a}_{n}=\frac{3}{4}×（\frac{1}{3}）^{n-1}=\frac{1}{4}×（\frac{1}{3}）^{n-2}$
∵${a}_{n}=\frac{n}{2}-\frac{1}{4}$
∴$_{n}=\frac{1}{4}×（\frac{1}{3}）+\frac{n}{2}-\frac{1}{4}$

點評 本題考查由數(shù)列的遞推關(guān)系確定數(shù)列通項公式的方法．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了運算的能力，問題轉(zhuǎn)化的能力． 屬于基礎(chǔ)題．