Question

【題目】設函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或（2）.

【解析】

（1）求得，對的范圍分類，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合即可判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有唯一的零點，問題得解。

（2）將問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)在上的最小值小于零.求得，對的范圍分類即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的最小值，問題得解。

（1），其中.

①當時，恒成立，單調(diào)遞增，

又∵，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，符合題意.

②當時，恒成立，單調(diào)遞減，

又∵，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，符合題意.

③當時，時，，單調(diào)遞減，

又∵，∴，

∴函數(shù)在區(qū)間有唯一的零點，

當時，，單調(diào)遞增，

當時符合題意，即，

∴時，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；

∴的取值范圍是.

（2）在上存在一點，使得成立，等價于在上有解，即函數(shù)在上的最小值小于零.

，

①當時，即時，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，由可得，∵，∴；

②當時，即時，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，由可得；

③當時，即時，

可得的最小值為，∵，∴，，所以不成立.

綜上所述：可得所求的取值范圍是.