Question

9．已知：x=x₁，x=x₂是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x的兩個(gè)極值點(diǎn)，且A（x₁，$\frac{1}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{1}{{x}_{2}}$），則直線AB與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的位置關(guān)系為（　�。�

• A． 相切
• B． 相交
• C． 相離
• D． 位置關(guān)系不正確

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得${x}_{1}+{x}_{2}=1，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{a}$，把過(guò)A，B的直線方程整理為y=a（x-1），可知直線y=a（x-1）過(guò)定點(diǎn)（1，0），由此可知直線AB與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的位置關(guān)系．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x，得f′（x）=ax²-ax-1，
又函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$ax²-x有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴方程ax²-ax-1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
則a²+4a＞0，且${x}_{1}+{x}_{2}=1，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{a}$，
∴${k}_{AB}=\frac{\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}=a$，
則過(guò)AB的直線方程為y-$\frac{1}{{x}_{1}}=a（x-{x}_{1}）$，
整理得：$y=ax+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即y=a（x-1），
則直線y=a（x-1）過(guò)定點(diǎn)（1，0），
∴直線AB與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的位置關(guān)系為相交．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．