Question

18．M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一點，F₁，F₂是橢圓的左、右焦點，I是△MF₁F₂的內心，延長MI交F₁F₂于N，則$\frac{|MI|}{|IN|}$等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由于三角形的內心是三個內角的平分線的交點，根據三角形內角平分線性質定理把所求的比值轉化為三角形邊長之間的比值關系來求解．

解答 解：如圖，連接IF₁，IF₂．在△MF₁I中，F₁I是∠MF₁N的角平分線，
根據三角形內角平分線性質定理，$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{1}\right|}{\left|{F}_{1}N\right|}$
同理可得$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{2}\right|}{\left|{F}_{2}N\right|}$，
∴$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{2}\right|}{\left|{F}_{2}N\right|}$=$\frac{\left|{MF}_{1}\right|}{\left|{F}_{1}N\right|}$；
根據等比定理$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{1}\right|+\left|{MF}_{2}\right|}{\left|{F}_{1}N\right|+\left|{F}_{2}N\right|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{8-4}}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題主要考查圓錐曲線的定義的應用，試題在平面幾何中的三角形內角平分線性質定理、初中代數中的等比定理和圓錐曲線的定義之間進行了充分的交匯，在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．