Question

橢圓的離心率為，且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m與橢圓C交于兩點A，B，O為坐標原點，若△OAB為直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據離心率和（2，0）點代入橢圓方程進而可求得a和c，進而求得b，方程可得．
（2）把直線與橢圓聯立，消去y，根據判別式大于0，進而可求得m的范圍．設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），當∠AOB為直角時，根據，、求得m；當∠OAB或∠OBA為直角時，不妨設∠OAB為直角，由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，可得x₁和y₁的關系進而求得x₁和m．
解答：解：（Ⅰ）由已知，，
所以a=2，，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以橢圓C的方程為；．
（Ⅱ）聯立，
消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（�。┊敗螦OB為直角時，
則，
因為∠AOB為直角，所以，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
所以，解得．
（ⅱ）當∠OAB或∠OBA為直角時，不妨設∠OAB為直角，
由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，
所以，即y₁=-x₁，
又；，
所以；，，，
經檢驗，所求m值均符合題意，綜上，m的值為和．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．