Question

3．如圖，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，

（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：AE⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)F，連結(jié)AF，可證AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交線為BC，可證AF⊥平面DBC，從而AF∥DE，即可證明DE∥平面ABC．
（2）連結(jié)DF，可證DF⊥平面ABC，AE∥DF，從而有AE⊥平面ABC．

解答 解：（1）取BC中點(diǎn)F，連結(jié)AF，
因?yàn)锳B=AC，所以，AF⊥BC，
又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面DBC，且交線為BC，
所以，AF⊥平面DBC，
因?yàn)镈E⊥平面DBC，所以，AF∥DE，
而AF在平面ABC內(nèi)，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；
（2）連結(jié)DF，
∵DB=DC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴DF⊥BC，
∵平面ABC⊥平面DBC，DF?平面DBC，
可證DF⊥平面ABC，
∵AE∥DF，
∴AE⊥平面ABC．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．