Question

18．2011年，某縣甲、乙兩個(gè)林場(chǎng)森林木材的存量分別為16a和25a，甲林場(chǎng)木材存量每年比上年遞增25%，而乙林場(chǎng)木材存量每年比上年遞減20%．
（1）求哪一年兩林場(chǎng)木材的總存量相等；
（2）問(wèn)兩林場(chǎng)木材的總量到2015年能否翻一番．

Answer 1

分析 （1）由題意可知甲、乙兩林場(chǎng)每年的森林木材存量均成等比數(shù)列，且公比分別為1+25%和1-20%，于是根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可建立函數(shù)模型；
（2）在函數(shù)解析式中取n=5，得到y(tǒng)＜2（16a+25a），由此可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，設(shè)y為第n年兩林場(chǎng)木材的總存量，
則y=16a（1+25%）^n-1+25a（1-20%）^n-1=16a（$\frac{5}{4}$）^n-1+25a（$\frac{4}{5}$）^n-1≥2$\sqrt{16a（\frac{5}{4}）^{n-1}•25a（\frac{4}{5}）^{n-1}}$=40a．
當(dāng)且僅當(dāng)16a（$\frac{5}{4}$）^n-1=25a（$\frac{4}{5}$）^n-1，即n=2時(shí)y有最小值為40a．
故2012年兩林場(chǎng)木材的總量最少，最少為40a；
（2）令n=5，有y=16a（$\frac{5}{4}$）⁴+25a（$\frac{4}{5}$）⁴=（$\frac{625}{16}+\frac{256}{25}$）a＜2（16a+25a）．
故2015年時(shí)不能翻一番．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是建模思想的應(yīng)用，是中檔題．