Question

14．求函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值．

Answer 1

分析 設x²+1=t，則t≥1，在利用導數(shù)和函數(shù)的最值得關系即可求出答案

解答 解：設x²+1=t，則t≥1，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{t+1}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$，t≥1，
∴y′=$\frac{1}{2}$$（t+1）^{-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$${t}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{t+1}}$-$\frac{1}{t\sqrt{t}}$）＞0，
∴函數(shù)y=$\sqrt{t+1}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$在[1，+∞）為增函數(shù)，
∴當t=1時，函數(shù)有最小值，
∴y_min=$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值得問題，關鍵是求導，屬于中檔題．