Question

橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，P(m，0)為C的長軸上的一個動點，過P點斜率為的直線l交C于A、B兩點.當(dāng)m＝0時，

(1)求C的方程；

(2)求證：為定值.

 

Answer 1

(1)；(2)41

【解析】試題分析：(1)用坐標(biāo)表示向量，利用＝－可求的橢圓相關(guān)數(shù)據(jù)，從而得到方程；(2)將|PA|2＋|PB|2通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為m的表達(dá)式，證明該表達(dá)式與m的值無關(guān).

試題解析：(Ⅰ)因為離心率為，所以＝．

當(dāng)m＝0時，l的方程為y＝x，

代入并整理得x2＝． 2分

設(shè)A(x0，y0)，則B(－x0，－y0)，

＝－－＝－＝－·．

又因為＝－，所以a2＝25，b2＝16，

橢圓C的方程為． 5分

(Ⅱ)l的方程為x＝y＋m，代入并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則|PA|2＝(x1－m)2＋＝，同理|PB|2＝． 8分

則|PA|2＋|PB|2＝ (＋)＝ [(y1＋y2)2－2y1y2]

＝ [(－)2－]＝41．

所以，|PA|2＋|PB|2是定值． 12分