Question

10．已知曲線y=（1-x）xⁿ（n∈N^*）在點(diǎn)（2，-2ⁿ）處的切線的縱截距為b_n，則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是（n+1）•2ⁿ．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：y=（1-x）xⁿ（n的導(dǎo)數(shù)為
y′=-xⁿ+n（1-x）x^n-1，
即有在點(diǎn)（2，-2ⁿ）處的切線的斜率為
k=-2ⁿ+n（1-2）•2^n-1=-（n+2）•2^n-1，
由題意可得$\frac{_{n}+{2}^{n}}{0-2}$=-（n+2）•2^n-1，
解得b_n=（n+1）•2ⁿ．
故答案為：（n+1）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查兩點(diǎn)的斜率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．