Question

12．?dāng)?shù)列S=$\frac{2}{2}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{6}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n}{{2}^{n}}$前n項(xiàng)和為S_n=4$-\frac{1}{{2}^{n-2}}$$-\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)S的式子得出S=$\frac{2}{2}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{6}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n}{{2}^{n}}$①
$\frac{1}{2}$S=$\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{4}{{2}^{3}}$+…$+\frac{2（n-1）}{{2}^{n}}$$+\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，②
錯位相減得出$\frac{{S}_{n}}{2}$=1$+\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$$-\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，利用等比數(shù)列求和公式求解即可．

解答 解：S=$\frac{2}{2}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{6}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n}{{2}^{n}}$①
$\frac{1}{2}$S=$\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{4}{{2}^{3}}$+…$+\frac{2（n-1）}{{2}^{n}}$$+\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得出：$\frac{{S}_{n}}{2}$=1$+\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$$-\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，
化簡得出：S_n=4$-\frac{1}{{2}^{n-2}}$$-\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
故答案為S_n=4$-\frac{1}{{2}^{n-2}}$$-\frac{n}{{2}^{n-1}}$，

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的錯位相減法求解前n項(xiàng)和的方法，關(guān)鍵是仔細(xì)化簡運(yùn)算，轉(zhuǎn)為等比數(shù)列求解．