Question

(本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.

如圖所示的“8”字形曲線是由兩個(gè)關(guān)于軸對稱的半圓和一個(gè)雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個(gè)圓所在圓方程是，雙曲線的左、右頂點(diǎn)、是該圓與軸的交點(diǎn)，雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點(diǎn)．

（1）試求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，試在“8”字形曲線上求點(diǎn)，使得是直角.

Answer 1

(1),(2)滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，分別為 .

【解析】

試題分析： 由于上半個(gè)圓所在圓方程是，令，求出，得雙曲線的頂點(diǎn)，可知，又雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點(diǎn)，令，雙曲線過點(diǎn)，滿足雙曲線方程，待定系數(shù)法求出雙曲線方程；第二步由于點(diǎn)滿足是直角，則點(diǎn)在以為圓心半徑為的圓上，滿足,把圓的方程與雙曲線方程聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)，由于與上下兩圓弧無交點(diǎn)，所以交點(diǎn)只有求出的四個(gè) .

試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，在已知圓的方程中，令，

得，即，則雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，于是,令，可得，解得，即雙曲線過點(diǎn)，則所以，

所以所求雙曲線方程為.

（2）由（1）得雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，,當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，

①若點(diǎn)在雙曲線上，得，由，有則，

由，解得所以

②若點(diǎn)在上半圓上，則，由，得，

由無解.

綜上，滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，分別為 .

考點(diǎn)：1.求雙曲線方程；2.求曲線的交點(diǎn)；