Question

3．已知圓C的圓心在直線y=x+1上，半徑為$\sqrt{2}$，且圓C經(jīng)過點P（5，4）
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過點A（1，0）且與圓C相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）²+（y-b）²=2，由于點C在直線y=x+1上，則b=a+1；圓C經(jīng)過點P（5，4），可得（5-a）²+（4-b）²=2，聯(lián)立解出即可得出；
（2）利用直線與圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）²+（y-b）²=2，
∵點C在直線y=x+1上，則b=a+1，
∵圓C經(jīng)過點P（5，4），∴（5-a）²+（4-b）²=2，
解得：a=4，b=5．
∴圓C：（x-4）²+（y-5）²=2．
（2）設(shè)直線l斜率為k，則直線l方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（4，5）到已知直線l的距離等于半徑$\sqrt{2}$，
即$\frac{|4k-5-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$，解得k=1或k=$\frac{23}{7}$．
所求切線方程是y=x-1，或$\frac{23}{7}$x-$\frac{23}{7}$．

點評 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．