Question

9．設(shè)p：函數(shù)f（x）=lg（ax²$-x+\frac{1}{4}$a）的定義域?yàn)镽；
q：函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$ 在（1，+∞）上單調(diào)遞減．若命題p∧q為假．
求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p和命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而可得命題p∧q為假時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：p：函數(shù)f（x）=lg（ax²$-x+\frac{1}{4}$a）的定義域?yàn)镽；
故ax²$-x+\frac{1}{4}$a＞0恒成立，
若a=0，則-x＞0，即x＜0，不滿足條件．
若a≠0，要使不等式恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞1，
故p：a＞1；
q：f（x）=$\frac{x+a}{x-1}$=1+$\frac{a+1}{x-1}$，
∵f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴a+1＞0
即：∴a＞-1，
當(dāng)p∧q為真命題時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，
∴a＞2
∴當(dāng)p∧q為假命題時(shí)a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，恒成立問題，反比例型函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．