Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-2．
 （1）求f（x）的定義域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由分母x≠0，求出函數(shù)的定義域即可；（2）首先，任設(shè)兩個變量，然后，作差比較，最后，得到結(jié)論．

解答 解：（1）由分母x≠0，得函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}，
（2）任設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），
且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-2-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）
=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-2在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的定義域問題，單調(diào)性的定義，借助于函數(shù)單調(diào)性定義求解時，一定要注意所取的自變量的任意性，屬于基礎(chǔ)題．