Question

20．已知$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=4\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，其中$\overrightarrow{e_1}=（{1，0}），\overrightarrow{e_2}=（{0，1}）$，求：
（1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|；
（2）$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標(biāo)求出向量$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$的模，展開數(shù)量積運算可求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)，由模的公式計算；
（2）分別求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow|$，結(jié)合（1）中求出的$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，代入夾角公式得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{e_1}=（{1，0}），\overrightarrow{e_2}=（{0，1}）$，
∴$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，又$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=4\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（3\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（4\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$12|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}-2|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}-5\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$
=10；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$3\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}+4\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=$7\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}=（7，0）-（0，1）$=（7，-1），
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|=$\sqrt{{7}^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{50}$=$5\sqrt{2}$；
（2）$|\overrightarrow{a}|=|3\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}|=|（3，-2）|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow|=|4\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|=|（4，1）|=\sqrt{17}$．
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為$\frac{10}{\sqrt{13}•\sqrt{17}}=\frac{10\sqrt{221}}{221}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查平面向量的坐標(biāo)加減運算，考查計算能力，是中檔題．