【題目】
已知數(shù)列
中，
，前項和
．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列
的前項和為
，是否存在實數(shù)
，使得
對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）
的最小值為
【解析】
試題（1）給出
與
的關(guān)系，求，常用思路：一是利用
轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與
的關(guān)系，再求；（2）觀測數(shù)列的特點形式，看使用什么方法求和.使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源和目的.（3）在做題時注意觀察式子特點選擇有關(guān)公式和性質(zhì)進行化簡，這樣給做題帶來方便，掌握常見求和方法，如分組轉(zhuǎn)化求和，裂項法，錯位相減.
試題解析：（1）∵
∴
∴
整理得
∴
兩式相減得
即
∴
，
即
∴數(shù)列
是等差數(shù)列
且
，得
，則公差
∴
（2）由（1）知
∴
∴
則要使得
對一切正整數(shù)都成立，只要
，所以只要
∴存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立，且的最小值為.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：
摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．
（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？
（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
,
,點
滿足
，記點的軌跡為
.
（1）求軌跡的方程；
（2）若直線
過點
且與軌跡交于、
兩點.
（i）無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動，在
軸上總存在定點
，使
恒成立，求實數(shù)
的值.
（ii）在（i）的條件下，求
面積的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列四種說法：①函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
；②函數(shù)
與
的值域相同；③函數(shù)
與
均是奇函數(shù)；④若函數(shù)
在
上有零點，則實數(shù)
的取值范圍是
.其中正確結(jié)論的序號是_______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，正方形
的邊長為
，已知
，將
沿
邊折起，折起后
點在平面上的射影為
點，則翻折后的幾何體中有如下描述：
①
與
所成角的正切值是
；
②
；
③
是
；
④平面
平面
；
⑤直線
與平面
所成角為30°.
其中正確的有________.（填寫你認為正確的序號）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
.
(1)已知不過原點的直線
與圓
相切，且在
軸，
軸上的截距相等，求直線的方程；
(2)求經(jīng)過原點且被圓截得的線段長為2的直線方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，底面ABC為正三角形，
底面ABC，
，點
在線段
上，平面
平面
．
（1）請指出點的位置，并給出證明；
（2）若
，求
與平面ABE夾角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】新冠肺炎疫情期間，為了減少外出聚集，“線上買菜”受追捧.某電商平臺在
地區(qū)隨機抽取了
位居民進行調(diào)研，獲得了他們每個人近七天“線上買菜”消費總金額（單位：元），整理得到如圖所示頻率分布直方圖.
（1）求
的值；
（2）從“線上買菜”消費總金額不低于
元的被調(diào)研居民中，隨機抽取
位給予獎品，求這位“線上買菜”消費總金額均低于
元的概率；
（3）若地區(qū)有萬居民，該平臺為了促進消費，擬對消費總金額不到平均水平一半的居民投放每人
元的電子補貼.假設(shè)每組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，試根據(jù)上述頻率分布直方圖，估計該平臺在地區(qū)擬投放的電子補貼總金額.
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