Question

18．若函數(shù)y=f（x）的值域是[-1，3]，試求函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x）的值域．

Answer 1

分析 換元后可得原式=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，t∈[-1，3]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：令f（x）=t，則t∈[-1，3]，
∴F（x）=[f（x）]²+f（x）=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
由二次函數(shù)可知（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在t∈[-1，-$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，在t∈[-$\frac{1}{2}$，3]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=3時(shí)，（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$取最大值12，當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$取最小值-$\frac{1}{4}$，
∴函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x）的值域?yàn)閇$-\frac{1}{4}$，12]

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．