Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，根據(jù)中位線可得，在根據(jù)垂直關(guān)系可證得；根據(jù)面面平行的判定定理可證得平面；利用面面平行性質(zhì)定理證得結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面，從而可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：

分別為中點(diǎn)

為等邊三角形

又

又 平面平面

又平面 平面

（Ⅱ）為正三角形，，

，

連接，，則為的中點(diǎn)

，

又，

又 平面

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為

，令，則，

設(shè)直線與平面所成角為

則直線與平面所成角的正弦值為：