Question

6．已知點(diǎn)P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一點(diǎn)，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若△PIF₁和△PIF₂的面積和為1，則△IF₁F₂的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，內(nèi)切圓的半徑長為r，則S₁=$\frac{1}{2}$mr，S₂=$\frac{1}{2}$nr，S₃=$\frac{1}{2}$•2cr，求得橢圓的a，b，c，由題可得r=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{1}{2}$，即可得到所求面積．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，內(nèi)切圓的半徑長為r，
設(shè)△PIF₁和△PIF₂及△IF₁F₂的面積分別為S₁，S₂，S₃，
則S₁=$\frac{1}{2}$mr，S₂=$\frac{1}{2}$nr，S₃=$\frac{1}{2}$•2cr，
橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
由橢圓定義可得m+n=2a=4，
由△PIF₁和△PIF₂的面積和為1，
即有S₁+S₂=1，即r=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{1}{2}$，
即有S₃=$\frac{1}{2}$•2cr=cr=r=$\frac{1}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．