Question

14．若${（x+\frac{a}{{\root{3}{x}}}）^8}$（a＞0）的展開式中當且僅當?shù)?項系數(shù)最大，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $\frac{5}{4}＜a＜2$
• B． $\frac{5}{4}≤a≤2$
• C． $2≤a≤\frac{7}{2}$
• D． $2＜a＜\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)二項式展開式的通項公式，結(jié)合題意，得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{5}{•a}^{5}}\\{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{7}{•a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：${（x+\frac{a}{{\root{3}{x}}}）^8}$（a＞0）的展開式中通項公式為
T_r+1=C₈^r•x^8-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r=C₈^r•a^r•x^{8-$\frac{2}{3}$r）}，
又展開式中當且僅當?shù)?項系數(shù)最大，
則$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{5}{•a}^{5}}\\{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{7}{•a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{8a}^{6}＞5{6a}^{5}}\\{2{8a}^{6}＞{8a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得2＜a＜$\frac{7}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了二項展開式的通項公式以及二項展開式各項系數(shù)的應用問題，是基礎(chǔ)題目．