Question

已知數(shù)列中，，且．為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；
（3）證明對(duì)一切，有．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式、裂項(xiàng)相消法、數(shù)學(xué)歸納法、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，用n-1代替中的n，得到一個(gè)等式，2個(gè)等式相減，得到，分n為奇數(shù)偶數(shù)進(jìn)行討論，分別求出的通項(xiàng)公式，由于得到的式子相同，所以的通項(xiàng)公式就是；第二問，要求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是需要求出的通項(xiàng)公式，可以利用已知的遞推公式進(jìn)行推導(dǎo)，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法猜想證明，得到的通項(xiàng)公式后，代入到中，得到的通項(xiàng)公式，最后用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和；第三問，先用放縮法對(duì)原式進(jìn)行變形，再用裂項(xiàng)相消法求和，最后和作比較.
試題解析：（1）由已知得，，，
由題意，即，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.
所以.4分
（2）解法一：由已知，對(duì)有，
兩邊同除以，得，即，
于是，==，
即，，所以=，
，，又時(shí)也成立，故，.
所以，8分
解法二：也可以歸納、猜想得出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）當(dāng)，有，
所以時(shí)，有

=.
當(dāng)時(shí)，.故對(duì)一切，有.14分
考點(diǎn)：1.由求；2.錯(cuò)位相減法；3.數(shù)學(xué)歸納法；4.裂項(xiàng)相消法.