Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x-x，a∈R．求f（x）的單調(diào)區(qū)間和g（x）的極值．

Answer 1

分析 先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），并確定函數(shù)的定義域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分別求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)a，故為解不等式的需要，需討論a的正負(fù)；
求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x）的極小值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
①若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），遞減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）．
g′（x）=e^x-1，令g′（x）＞0，解得：x＞0，令g′（x）＜0，解得：x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴g（x）_極小值=g（0）=1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．