Question

7．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1上任意一點(diǎn)，EF為圓N：（x-1）²+y²=4的任意一條直徑，則$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，15]
• B． [5，15]
• C． [5，21]
• D． （5，21）

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{NF}$=-$\overrightarrow{NE}$化簡(jiǎn)可知$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-4，通過(guò)a-c≤|$\overrightarrow{PN}$|≤a+c，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NF}$）
=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$-$\overrightarrow{NE}$）
=${\overrightarrow{PN}}^{2}$-${\overrightarrow{NE}}^{2}$
=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-4，
∵a-c≤|$\overrightarrow{PN}$|≤a+c，即3≤|$\overrightarrow{PN}$|≤5，
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的范圍是[5，21]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．