Question

若圓C過點（0，1）且與直線l：y=-1相切，設(shè)圓心C的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）記F（0，1），是否存在正數(shù)m，對于過點M（0，M）且與曲線E有兩個交點A、B的任一直線，都有

FA

•

FB

＜0，若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）由點C到定點M的距離等于到定直線l的距離與拋物線的定義可得點C的軌跡為拋物線所以曲線E的方程為x²=4y；
（Ⅱ）首先由于過點M（0，m）的直線與開口向上的拋物線有兩個交點A、B，則設(shè)該直線的方程為y=kx+m，然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，進而通過消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程；再根據(jù)韋達定理及向量的數(shù)量積公式，實現(xiàn)

FA

•

FB

＜0的等價轉(zhuǎn)化；最后通過m、k的不等式求解m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，點C到定點M的距離等于到定直線l的距離，所以點C的軌跡為拋物線，曲線E的方程為x²=4y；
（Ⅱ）設(shè)過點M（0，m）（m＞0）的直線l與曲線E的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)l的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2=4y

，得x²-4kx-4m=0，
于是x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m  ①
又

FA

=（x₁，y₁-1），

FB

=（x₂，y₂-1）．
則

FA

•

FB

＜0?x₁•x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂-（y₁+y₂）+1+y₁y₂＜0  ②
又y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，于是不等式②等價于(k2+1)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+m2-2m+1＜0  ③
由①式，不等式③等價于m²-6m+1-4k²＜0  ④
要使④成立，則m²-6m+1＜4k²，
∵4k²≥0，
若使該式對任意實數(shù)k都成立，則m²-6m+1＜0，
解得：3-2

2

＜m＜3+2

2

．

點評：本題綜合考查向量知識、直線與拋物線的相交問題及代數(shù)運算能力，是中檔題．