Question

在△ABC中，邊BC固定，｜BC｜＝6，BC邊上的高的長為3，求垂心H的軌跡方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法一　以B為原點，直線BC為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．設(shè)H(x，y)，由平面幾何知，Rt△BHD∽Rt△ACD，它們的對應(yīng)邊成比例，得H∈． 　　∵｜BC｜＝6，∴C(6，0)． 　　∵D(x，0)，A(x，3)，代入＝， 　　得＝，x≠6． 　　化簡得y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x． 　　當(dāng)x＝6時，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，其垂心即為C，而C的坐標(biāo)為(6，0)，也滿足方程y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x，所以所求軌跡方程為y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x． 　　方法二　建立如圖所示的坐標(biāo)系． 　　設(shè)H(x，y)，由平面幾何知，AC⊥BE， 　　即H∈｛H｜AC⊥BE｝． 　　∵｜BC｜＝6，∴C(6，0)．∵D(x，0)，A(x，3)，由AC⊥BE，得kACkBE＝·＝－1，x≠6，x≠0．得y＝－x2＋2x． 　　當(dāng)x＝6時，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，其垂心即為C，而C的坐標(biāo)為(6，0)，滿足方程y＝－x2＋2x． 　　當(dāng)x＝0時，△ABC是以B為直角頂點的直角三角形，其垂心即為B，而B的坐標(biāo)為(0，0)，滿足方程y＝－x2＋2x． 　　當(dāng)點A在x軸的下方時，同法可得軌跡方程為y＝x2－2x．所以所求軌跡方程為y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x．