Question

（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，橢圓過點和點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點在橢圓上，為橢圓的左焦點，直線的方程為.

（i）求證：直線與橢圓有唯一的公共點；

（ii）若點關(guān)于直線的對稱點為，探索：當點在橢圓上運動時，直線是否過定點?

若過定點，求出此定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）定點坐標為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，將和點分別代入橢圓方程，即可得到關(guān)于，的方程組：，，從而可以解得，，即橢圓的方程為；（2）（ii）分析題意可知，要證直線與橢圓只有一個公共點，等價于將直線方程與橢圓方程聯(lián)立所得的方程組只有唯一的解，因此考慮將方程聯(lián)立，化簡變形可得，易知其，從而得證；（ii）由題意可知為線段的中垂線，因此利用線段與直線垂直以及線段的中點在直線上可求得點的坐標為，以下需分類討論列出直線的解析式：當時，直線的斜率，直線的方程為，即，直線過定點，當時，，此時，直線過點，即可證明直線恒過定點.

試題解析：（1）∵，且，∴，，∴橢圓的方程為.

（2）（i）聯(lián)立方程組，整理為…①，

∵在橢圓上，∴，即，∴方程①為，即，∴直線與橢圓有唯一的公共點； （ii）∵，∴過點且與垂直的直線方程為，

∵聯(lián)立方程組，∴，∵，且，∴點坐標為，當時，直線的斜率，

∵直線的方程為，即，∴直線過定點，

當時，，此時，直線過點，綜上所述，直線過定點．

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.直線中的對稱問題.