Question

5．已知A、B分別為銳角三角形兩個(gè)內(nèi)角，滿足tanA=4tanB，則tan（A-B）取最大值時(shí)tanB=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩角差的正切公式求得tan（A-B）=$\frac{3tanB}{1+{4tan}^{2}B}$，再利用基本不等式求得它的最大值，分析等號成立條件可得此時(shí)tanB的值．

解答 解：∵A、B分別為銳角三角形兩個(gè)內(nèi)角，滿足tanA=4tanB，∴tanA＞0，tanB＞0，
則tan（A-B）=$\frac{4tanB-tanB}{1+4tanBtanB}$=$\frac{3tanB}{1+{4tan}^{2}B}$≤$\frac{3tanB}{4tanB}$，
當(dāng)且僅當(dāng)1=4tan²B，即tanB=$\frac{1}{2}$時(shí)，取等號，故tan（A-B）取得最大值時(shí)tanB=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩角差的正切公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．