Question

20．若AB為過橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1中心的弦，F(xiàn)₁為橢圓的右焦點，則△F₁AB面積的最大值為12．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為：ky=x，與橢圓方程聯(lián)立化為（25+16k²）y²=400，解得y=±$\frac{20}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$．利用△F₁AB面積S=$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y₂-y₁|，即可得出面積的最大值．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：ky=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ky}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，
化為（25+16k²）y²=400，
解得y=±$\frac{20}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$．
∴△F₁AB面積S=$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y₂-y₁|=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{40}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$
=$\frac{60}{\sqrt{25+16{k}^{2}}}$≤$\frac{60}{5}$=12，
當(dāng)k=0即AB為橢圓的短軸時，△F₁AB面積取得最大值12．
故答案為：12．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立解得交點、三角形的面積計算公式，考查了計算能力，屬于中檔題．