Question

6．已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是線段AB，BC，CD，DA的中點，圓O為四邊形EFGH的內切圓，則在正方形ABCD內投一點，該點落在圓O內的概率為$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 由題意ABCD是正方形，設其邊長為a，則${S}_{正方形ABCD}={a}^{2}$，推導出EFGH是邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，從而圓O的半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，在正方形ABCD內投一點，由幾何概型得該點落在圓O內的概率p=$\frac{{S}_{圓O}}{{S}_{正方形ABCD}}$，由此能求結果．

解答 解：由題意ABCD是正方形，設其邊長為a，則${S}_{正方形ABCD}={a}^{2}$，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是線段AB，BC，CD，DA的中點，圓O為四邊形EFGH的內切圓，
∴EFGH是邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∴圓O的半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
∴S_圓O=$π{r}^{2}=π×\frac{2}{16}{a}^{2}=\frac{π{a}^{2}}{8}$，
∴在正方形ABCD內投一點，該點落在圓O內的概率：
p=$\frac{{S}_{圓O}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\frac{π{a}^{2}}{8}}{{a}^{2}}$=$\frac{π}{8}$．
故答案為：$\frac{π}{8}$．

點評 本題考查概率的求法，涉及到正方形內切圓、幾何概型等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．