Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2且b_n=2b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記c_n=a${\;}_{_{n}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，集合A={n∈N^*|S_n＞6•2ⁿ+n²-8n}，求集合A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1可知a_n=3n-1，且當(dāng)n=1時(shí)也成立，從而a_n=3n-1；通過(guò)b₁=2、b_n=2b_n-1可知$_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）通過(guò)a_n=3n-1、$_{n}={2}^{n}$可知c_n=3•2ⁿ-1，進(jìn)而S_n=3•2ⁿ⁺¹-n-6，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)為求不等式3•2ⁿ⁺¹-n-6＞6•2ⁿ+n²-8n的整數(shù)解，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{n-1}{2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{n-1}{2}$]
=3n-1，
又∵a₁=2滿足a_n=3n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=3n-1；
∵b₁=2、b_n=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)$_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）∵a_n=3n-1，$_{n}={2}^{n}$，
∴c_n=${a}_{_{n}}$=3•2ⁿ-1，
∴S_n=3•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=3•2ⁿ⁺¹-n-6，
∵S_n＞6•2ⁿ+n²-8n，
即3•2ⁿ⁺¹-n-6＞6•2ⁿ+n²-8n，
化簡(jiǎn)得：n²-7n+6＜0，
解得1＜n＜6，（n∈N^*）
∴A={2，3，4，5}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．