Question

11．已知函數(shù)f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x．
（1）求f（x）的最小正周期及單調減區(qū)間；
（2）若α∈（0，π），且f（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求tan（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先，化簡函數(shù)解析式，然后利用輔助角公式進行化簡，然后，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式和單調性進行求解即可；
（2）根據(jù)（1），得到f（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[4（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]，得到相應的α的值，然后，利用兩角和的正切公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x．
=cos2xsin2x+$\frac{1}{2}$cos4x
=$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{1}{2}$cos4x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤4x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，
∴$\frac{π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{5π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴單調減區(qū)間[$\frac{π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{5π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$]，（k∈Z），
（2）根據(jù)（1），
∵f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴f（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[4（$\frac{α}{4}$-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（α-$\frac{π}{4}$）=1，
∵α∈（0，π），
∴α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴α=$\frac{3π}{4}$，
∴tan（α+$\frac{π}{3}$）=tan（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{tan\frac{3π}{4}+tan\frac{π}{3}}{1-tan\frac{3π}{4}tan\frac{π}{3}}$=$\frac{-1+\sqrt{3}}{1-（-1）×\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$=2-$\sqrt{3}$．
∴tan（α+$\frac{π}{3}$）的值2-$\sqrt{3}$．

點評 本題重點考查了三角公式、輔助角公式、兩角和的正切公式、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．