Question

18．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于O，F(xiàn)是線段DC的三等分點(diǎn)，AF與CD交于點(diǎn)E，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AE}$等于（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow$
• B． $\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$

Answer 1

分析 根據(jù)兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，得到E是BD的四等分點(diǎn)，進(jìn)而可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$），進(jìn)而得到答案．

解答 解：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴△ABE∽△FDE，
∵F是線段DC的三等分點(diǎn)，
∴DF：CD=DF：AB=DE：BE=1：3，
即E是BD的四等分點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{3}{4}\overrightarrow$
故選：A

點(diǎn)評(píng) 向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，好多問(wèn)題都是以向量為載體的．