Question

8．對于函數(shù)f（x）=xcosx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增．
其中是真命題的為（　�。�

• A． ②④
• B． ①④
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 由條件利用奇偶性，周期函數(shù)的定義，函數(shù)的圖象的對稱性，判斷①④正確、②③錯(cuò)誤，從而得出結(jié)論．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=xcosx，
∵它的定義域?yàn)镽，f（-x）=-x•cos（-x）=-xcosx=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故①正確．
∵f（0）=0，f（2π）=2π，f（0）≠f（2π），故②錯(cuò)誤．
再根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）=0，可得$\frac{π}{2}$是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)零點(diǎn)，
但（$\frac{π}{2}$，0）不是函數(shù)圖象的對稱中心，故③錯(cuò)誤．
在[0，$\frac{π}{4}$]上，f′（x）=cosx-xsinx＞cosx-sinx≥0，
故函數(shù) f（x）=xcosx在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)，故④正確．
結(jié)合所給的選項(xiàng)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，周期函數(shù)的定義，函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．