Question

10．若函數(shù)y=k（x+1）的圖象上存在點(diǎn)（x，y）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{3}≥0}\\{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}≤0}\\{y≥\sqrt{3}}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=k（x+1）的圖象與圓（x-4）²+（y-3）²=2有公共點(diǎn)的概率為$\frac{8\sqrt{3}}{23}$．

Answer 1

分析 由題意畫出約束條件的區(qū)域，計(jì)算函數(shù)y=k（x+1）的圖象與圓（x-4）²+（y-3）²=2有公共點(diǎn)可能，利用幾何概型公式解答．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{3}≥0}\\{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}≤0}\\{y≥\sqrt{3}}\end{array}\right.$，作出可行域如圖，
直線y=k（x+1）過定點(diǎn)P（-1，0），
由圖可知A（2，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$），
則k_PA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k_PB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}≤k≤\sqrt{3}$，
函數(shù)y=k（x+1）的圖象與圓（x-4）²+（y-3）²=2有公共點(diǎn)，則$\frac{|4k-3+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤\sqrt{2}$，解得-1≤k≤$-\frac{7}{23}$，
所以函數(shù)y=k（x+1）的圖象與圓（x-4）²+（y-3）²=2有公共點(diǎn)的概率為：$\frac{-\frac{7}{23}+1}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{23}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{3}}{23}$．

點(diǎn)評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題