Question

6．在平面直角坐標系中xOy，點P到兩點（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C
（1）寫出C的方程
（2）設直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時以AB為直徑的圓過坐標原點．

Answer 1

分析 （1）P（x，y）根據(jù)橢圓的定義可推斷點P的軌跡C是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）為焦點，長半軸為2的橢圓，進而可求得短半軸b，橢圓方程可得．
（2）設直線l₁：y=kx+$\sqrt{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而根據(jù)以線段AB為直徑的圓過坐標原點，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k．

解答 解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）為焦點，長半軸為2的橢圓．
它的短半軸b=$\sqrt{4-3}$=1，
故曲線C的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設直線l₁：y=kx+$\sqrt{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，消去y并整理得（k²+4）x²+2$\sqrt{3}$kx-1=0，
故x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$．
以線段AB為直徑的圓過坐標原點，則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3，
于是x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$-$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$-$\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，
化簡得-4k²+11=0，所以k²=$\frac{11}{4}$．
∴k=$±\frac{\sqrt{11}}{2}$時，以AB為直徑的圓過坐標原點．

點評 本題主要考查了橢圓的應用，考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力，是中檔題．