Question

13．設命題P：函數f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定義域為R；命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切實數x均成立，如果命題p和q都是假命題，則實數a的取值范圍為a≤0或a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 命題P：根據函數f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定義域為R，則△＜0，解得a范圍．命題q：3^x-9^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$∈$（-∞，\frac{1}{4}]$，由于不等式3^x-9^x＜a對一切實數x均成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．再根據命題p和q都是假命題，即可得出．

解答 解：命題P：函數f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定義域為R，則△=${a}^{2}-4×\frac{1}{16}a$＜0，解得$0＜a＜\frac{1}{4}$．
命題q：3^x-9^x=-（3^x）²+3^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$∈$（-∞，\frac{1}{4}]$，由于不等式3^x-9^x＜a對一切實數x均成立，∴$a＞\frac{1}{4}$．
∵命題p和q都是假命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥\frac{1}{4}}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得a≤0或a=$\frac{1}{4}$．
則實數a的取值范圍為a≤0或a=$\frac{1}{4}$．
故答案為：a≤0或a=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數的性質、簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．