Question

8．已知f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+1}$是奇函數，g（x）=x²+nx+1為偶函數．
（1）求m，n的值；
（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）-λ對任意x∈R恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的性質建立方程關系進行求解即可．
（2）將不等式進行化簡，利用參數分離法把不等式恒成立問題進行轉化，求最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+1}$是奇函數，∴f（0）=0，即f（0）=-m=0，則m=0，
∵g（x）=x²+nx+1為偶函數．
∴對稱軸x=-$\frac{n}{2}$=0，即n=0．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x²+1，
則3f（sinx）•g（sinx）=$\frac{3sinx}{sin^2x+1}$（sin²x+1）=3sinx，
則不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）-λ對任意x∈R恒成立，
等價為不等式3sinx＞g（cosx）-λ=cos²x+1-λ對任意x∈R恒成立，
即λ＞cos²x-3sinx+1恒成立，
∵cos²x-3sinx+1=-（sinx+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{4}$∈[-2，4]，
∴λ＞4，
即實數λ的取值范圍是（4，+∞）．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用以及不等式恒成立問題，利用參數分離法是解決不等式恒成立問題的常方法．