Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．

(1)若y＝g(x)－m有零點，求m的取值范圍；

(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．

[分析]　(1)y＝g(x)－m有零點即y＝g(x)與y＝m的圖象有交點，所以可結(jié)合圖象求解．(2)g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根⇔y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個不同交點，所以可利用它們的圖象求解．

Answer 1

 (1)方法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，

等號成立的條件是x＝e，

故g(x)的值域是[2e，＋∞)，

因而只需m≥2e，則y＝g(x)－m就有零點．

方法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致圖象如圖．

可知若使y＝g(x)－m有零點，則只需m≥2e.

(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，

作出g(x)＝x＋(x>0)的大致圖象如圖．

∵f(x)＝－x²＋2ex＋m－1

＝－(x－e)²＋m－1＋e².

∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，

最大值為m－1＋e².

故當m－1＋e²>2e，即m>－e²＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．

∴m的取值范圍是(－e²＋2e＋1，＋∞)．