Question

10．求下列函數(shù)的解析式：
（1）f（x+1）=x²+2x；
（2）f（x）為二次函數(shù)且f（0）=3，f（x+2）-f（x）=4x+2；
（3）已知x≠0時(shí)，函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{x-1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
（4）已知f（x）滿足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求解函數(shù)的解析式即可．
（2）設(shè)出二次函數(shù)求解函數(shù)的解析式即可．
（3）利用換元法求解函數(shù)的解析式即可．
（4）利用方程組的思想，求解函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）f（x+1）=x²+2x=（x+1）²-1；
∴f（x）=x²-1．
（2）f（x）為二次函數(shù)且f（0）=3，設(shè)f（x）=ax²+bx+3，
∵f（x+2）-f（x）=4x+2；
∴a（x+2）²+b（x+2）+3-（ax²+bx+3）=4x+2，
解得a=1，b=-1，
函數(shù)的解析式為：f（x）=x²-x+3．
（3）已知x≠0時(shí)，函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{x-1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
設(shè)$\frac{x-1}{x}=t$，t≠1可得1-$\frac{1}{x}=t$，即$\frac{1}{x}=1-t$，可得x=$\frac{1}{1-t}$，
f（t）=$（{\frac{1}{1-t}）}^{2}+（1-t）^{2}$，
∴f（x）=${（\frac{1}{1-x}）}^{2}+{（1-x）}^{2}$，x≠1．
（4）已知f（x）滿足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x…①，
2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{3}{x}$…②，
2×①-②可得：3f（x）=6x-$\frac{3}{x}$，
解得f（x）=2x-$\frac{1}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，換元法以及配方法，方程組的思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．