Question

13．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在（0，-3）點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由切線(xiàn)方程和極值點(diǎn)，可得f′（0）=-2，f′（1）=0，解方程可得a=1，b=-2，即有函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得g（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得到極值．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+bx-3，可得f′（x）=2ax+b，
由題設(shè)可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=-2}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3．
（2）由題意得g（x）=xf（x）=x³-2x²+x，
所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{3}$，x₂=1．

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	$\frac{4}{27}$	減	0	增

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）．
在x=1有極小值為0，在x=$\frac{1}{3}$有極大值$\frac{4}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和解二次不等式是解題的關(guān)鍵．