Question

【題目】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）首先求出，利用與作差，化簡(jiǎn)即可得到為常數(shù)，進(jìn)而可證明數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差2，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出；

（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項(xiàng)相消，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，代入，分離參數(shù)即可得到，分別為奇數(shù)和偶數(shù)是的范圍即可．

（1）證明:∵，且，

當(dāng)時(shí)，，解得．

當(dāng)時(shí)，有即，即．于是，

即．

∵，∴為常數(shù)

∴數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴．

（2）由（1）可得： ，

∴

，即對(duì)任意都成立，

①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，

令，

，

在上為增函數(shù)，

②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，又，在為增函數(shù)，

∴由①②可知：

綜上所述的取值范圍為: