Question

【題目】如圖，直三棱柱中， , ， , 分別為和上的點(diǎn)，且．

（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求證： ；

（2）當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求三棱錐體積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）18.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，可得平行四邊形為正方形，通過平面得到，由已知得，故而可得平面，由此能證明結(jié)果；（2）設(shè)，則， 到平面的距離為，根據(jù)等體積法可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最小值.

試題解析：（1）證明：∵為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，三棱柱為直三棱柱，∴平行四邊形為正方形，∴，

∵， 為的中點(diǎn)，∴，

∵三棱柱為直三棱柱，

∴平面，又平面，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴．

（2）設(shè)，則

由已知可得到平面的距離即為的邊所對(duì)的高， ∴

∴當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)， 有最小值18．