Question

20．已知f（x）=lgx，g（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$，h（x）=f[g（x）]．
（1）證明h（x）既是R上的奇函數(shù)又是R上的增函數(shù)；
（2）若（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+\frac{1}{4}}$）=$\frac{1}{2}$，求證：x+2y=0．

Answer 1

分析 （1）先求出$h（x）=lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$，容易得到h（-x）=-h（x），即得到h（x）為奇函數(shù)，可以求導(dǎo)數(shù)h′（x）＞0，從而得出h（x）為R上的增函數(shù)；
（2）由$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）（y+\sqrt{{y}^{2}+\frac{1}{4}}）=\frac{1}{2}$便可得到$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]=1$，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，根據(jù)h（x）的解析式可得到h（x）+h（2y）=0，而由h（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)便可得到x+2y=0．

解答 證明：（1）$h（x）=lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$；
$x+\sqrt{{x}^{2}+1}＞0$恒成立；
∴h（x）的定義域?yàn)镽，且$h（-x）=lg（-x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=$lg\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}=-lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=-h（x）；
∴h（x）為R上的奇函數(shù)；
又$h′（x）=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）ln10}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}ln10}＞0$；
∴h（x）為R上的增函數(shù)；
（2）$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）（y+\sqrt{{y}^{2}+\frac{1}{4}}）$=$\frac{1}{2}（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]=\frac{1}{2}$；
∴$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]=1$；
∴$lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]$=$lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）+lg[（2y）+\sqrt{（2y）^{2}+1}]$=h（x）+h（2y）=0；
∴h（x）=-h（2y）；
∵h(yuǎn)（x）為R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)；
∴h（x）=h（-2y）；
∴x=-2y；
∴x+2y=0．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，判斷一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的方法和過(guò)程，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，注意正確求導(dǎo)．