Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}cos$$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$+cos${\;}^{2}\frac{ωx}{2}$+cosωx（ω＞0）過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{3}，\frac{1}{2}$），且函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離大于$\frac{π}{10}$．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式并求其單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由函數(shù)y=$\sqrt{3}sinx+\frac{1}{2}$的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到函數(shù)y=f（x）的圖象？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性、f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{3}，\frac{1}{2}$）、以及它的圖象的對(duì)稱性，求得ω的值，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}cos$$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$+cos${\;}^{2}\frac{ωx}{2}$+cosωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{3}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{3}，\frac{1}{2}$），可得$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，求得sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$）=0，
故有 $\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，即ω=3k-1．
再根據(jù)函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離大于$\frac{π}{10}$，可得$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$＞$\frac{π}{10}$，即ω＜5，
故ω=2，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）由函數(shù)y=$\sqrt{3}sinx+\frac{1}{2}$的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，可得y=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象，再把所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$倍，
可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$ 的圖象．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．