Question

6．函數(shù)f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿足f（2-x）=f（2+x），若方程f（x）=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，那么這兩個(gè)根的和是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱，再給出相應(yīng)的證明，最后運(yùn)用函數(shù)圖象的對(duì)稱性求兩根之和的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿足f（2-x）=f（2+x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱，證明如下：
在y=f（x）圖象上任取一點(diǎn)P（x₀，y₀），
點(diǎn)P關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為Q（4-x₀，y₀），
且f（4-x₀）=f[2+（2-x₀）]=f[2-（2-x₀）]=f（x₀）=y₀，
所以，點(diǎn)Q（4-x₀，y₀）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
即y=f（x）的圖象必關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱．
又因?yàn)榉匠蘤（x）=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
所以，該方程的兩個(gè)根x₁，x₂必關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱，
所以，x₁+x₂=4．
故答案為：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)圖象的對(duì)稱性的判斷和證明，以及運(yùn)用圖象的對(duì)稱性求函數(shù)零點(diǎn)之和的值，屬于中檔題．