Question

13．給出下列命題：
①存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=$\frac{3}{2}$；
②函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱；
③若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，則k=-1；
④在平行四邊形ABCD中，若|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$|，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形．
則其中正確的序號是③④（將正確的判斷的序號都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷①②③，根據(jù)向量模的幾何意義，可判斷④．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\frac{3}{2}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故①為假命題；
當x=$\frac{π}{12}$時，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，此時函數(shù)取最大值，故函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，故②為假命題；
若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，則$\frac{\sqrt{2}}{2}k+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$，解得：k=-1，故③為真命題；
在平行四邊形ABCD中，若|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$|，即平行四邊形ABCD的兩條對角線長度相等，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形，故④為真命題；
故答案為：③④

點評 本題考查的知識點是和差角（輔助角）公式，三角函數(shù)的對稱性，向量的模，向量加法的三角形法則，難度中檔．