Question

14．關于x的不等式|$\frac{{x}^{2}-kx+k}{{x}^{2}-x+3}$|＜3對一切實數x恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 由于x²-x+3=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$＞0恒成立，即有-3（x²-x+3）＜x²-kx+k＜3（x²-x+3）恒成立，由二次不等式恒成立，運用判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由于x²-x+3=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$＞0恒成立，
則x的不等式|$\frac{{x}^{2}-kx+k}{{x}^{2}-x+3}$|＜3恒成立，即為
-3（x²-x+3）＜x²-kx+k＜3（x²-x+3）恒成立，
由4x²-（3+k）x+9+k＞0恒成立，可得（3+k）²-16（9+k）＜0，
解得5-4$\sqrt{10}$＜k＜5+4$\sqrt{10}$；
由2x²+（k-3）x+9-k＞0，可得（k-3）²-8（9-k）＜0，
解得-9＜k＜7．
綜上可得5-4$\sqrt{10}$＜k＜7．

點評 本題考查不等式的恒成立問題，注意運用絕對值不等式的解法和二次函數的性質，考查運算能力，屬于中檔題．